BERTRAND RUSELL

La paradoja del calvo, de Bertrand Russell

¿A partir de cuántos cabellos alguien deja de ser calvo? Esta pregunta, que parece trivial, desafió las bases de la lógica que sostiene nuestro pensamiento desde Aristóteles. Con esta paradoja del calvo, Bertrand Russell mostró que conceptos cotidianos como «calvo», «alto» o «montón» generan paradojas irresolubles. El intento de crear un lenguaje perfectamente preciso reveló algo inesperado: quizá la vaguedad no sea un error, sino una característica esencial del lenguaje humano.

 

Las primeras décadas del siglo XX fueron unos años revulsivos para la lógica. El paradigma que había sostenido casi toda la lógica —al menos desde Aristóteles— empezaba a desmoronarse y aparecían críticas y fisuras que hacían necesarias nuevas reformulaciones a la luz de los nuevos problemas que emergían. Esto no llevó, en ningún caso, a un abandono de la lógica como sistema preferido a la hora de formular los problemas, o a un abandono del logicismo, es decir, no llevó a descartar la lógica como lenguaje predilecto para muchos autores a la hora de formular problemas tanto matemáticos como filosóficos.

Lo curioso de esta época es que la aparición de todas estas aporías coincide con el cientifismo de la Escuela de Viena, entre otros, que defendían que la mayoría de los problemas filosóficos, a grandes rasgos, son pseudoproblemas causados por la podredumbre del lenguaje ordinario. Lo que tiene que hacer la filosofía, se decía, es formular todos sus problemas bajo términos lógicos y así se daría cuenta de que solo la ciencia (que comprueba la veracidad de sus proposiciones científicamente) es la portadora de la verdad. Muy resumido, eso sí, y a grandes rasgos, pero sí que es interesante notar que toda esta época de cambios y propuestas, de fisuras y tiritas, de logicismo y de confianza en la lógica, de nuevas propuestas, toda esa época, decía, se puede desplegar a partir de una paradoja aparentemente trivial y simple: la paradoja del calvo de Russell.

¿Cuál es la paradoja del calvo?

La paradoja es muy sencilla y se compone de dos premisas y una conclusión. La primera premisa: un hombre con cero cabellos es calvo. La segunda premisa: si un hombre con n cabellos es calvo, entonces un hombre con n+1 cabellos también es calvo. De estas dos premisas se deriva lógicamente una conclusión: un hombre con, pongamos, cien millones de cabellos es un hombre calvo.

Es obvio que la conclusión es absurda, y puede parecer una tontería de paradoja, pero no lo es. No lo es porque toda la lógica se sostiene bajo la condición de que, si un razonamiento es válido y las premisas son verdaderas, entonces la conclusión debe ser verdadera. Si la conclusión no lo es, o bien no lo son las premisas, o bien falla el razonamiento lógico (i.e. toda la lógica). Por eso es tan importante, porque nadie niega la absurdez de la conclusión, sino precisamente cómo puede derivarse un absurdo de dos premisas verdaderas y un razonamiento adecuado.

En este caso la premisa 1 es verdadera porque alguien sin pelo es claramente calvo. La premisa 2 también lo es porque, si decimos que alguien con nueve cabellos es calvo, entonces todos diremos que, si le saliera un nuevo cabello, no dejaría de ser calvo. Esto pasaría por varios motivos. Primero, porque es indiscernible una persona con n cabellos de una persona con n+1 cabellos. Y, segundo, porque establecer una frontera sería arbitrario (¿por qué 5 283 ya no significa calvicie?). Por eso, si tiene diez cabellos y puede ser calvo, entonces con once también lo sería. Pero si tiene once, una persona con dice también es calva, y así sucesivamente. De estas dos premisas llegamos a la conclusión lógica de que un hombre con cien millones de cabellos es calvo, es decir, que somos calvos tengamos los cabellos que tengamos. Pero esto es absurdo. ¿Qué está pasando aquí?

La paradoja muestra que de dos premisas aparentemente verdaderas (un hombre sin pelo es calvo; si alguien con n pelos es calvo, alguien con n+1 también lo es) se deriva lógicamente un absurdo: todos seríamos calvos. Esto cuestiona los fundamentos mismos de la lógica clásica

Las paradojas «sorites»

Esta paradoja pertenece a una familia de paradojas más grandes, llamadas «sorites», del griego σωρίτης, que significa literalmente «montón» o «pila». Otra paradoja de este estilo sería que si tienes un montón de arena y quitas un grano, sigue siendo un montón de arena. De ahí se deriva lógicamente que un solo grano de arena conforma un montón de arena. Y esto es absurdo.

El núcleo de estas paradojas (y esto es lo central para hacer tambalear, lo veremos luego, toda la lógica desde Aristóteles, incluso la ciencia moderna) es que incluyen eso que podríamos llamar como «predicados vagos», es decir, términos como «montón» o «calvo»,  o como «rico» o «alto». Estas paradojas muestran que estas categorías no tienen una frontera fija, ni un número exacto preciso que las defina y, por tanto, generan paradojas lógicas. Porque ¿cuánto dinero hace que alguien sea rico? ¿A partir de cuántos centímetros alguien es alto?

Las paradojas sorites revelan que conceptos como «calvo», «montón» o «rico» carecen de fronteras precisas. Estos predicados vagos generan problemas lógicos porque no podemos establecer un número exacto que los defina sin caer en arbitrariedades

La lógica clásica se tambalea

La paradoja es tan importante porque en lógica clásica, es decir, en la lógica que se ha aceptado (y que rige las ciencias) desde Aristóteles, hay un principio fundamental: el principio del tercero excluido. Según este principio, o bien una frase es verdadera, o bien su contraria es verdadera. Es decir, si «está lloviendo en Madrid» es una proposición falsa, entonces «no está lloviendo en Madrid» es una proposición verdadera. Esta es una ley fundamental, una ley que rige nuestra lógica del pensamiento.

Pero la paradoja del calvo desafía esto, porque no está claro cuál de las proposiciones es verdadera, «alguien que tenga cinco mil cabellos es calvo» o «alguien que no tenga cinco miel cabellos». No está claro si alguien con cinco mil cabellos es calvo o no, y, por tanto, tampoco está claro su contrario. ¿Cómo salir de aquí? Podemos mantener las leyes de la lógica y apostar por poner una frontera a términos como «montón» o «alto», pero esto parece absurdo y parece contradecir el propio uso que hacemos de estas palabras. Podríamos también apostar por una especie de «superevaluacionismo» (al estilo de autores como Fine o Keefe), que introduzca gradientes en las valoraciones.

Por ejemplo, «alguien con cero cabellos es calvo» sería una proposición súperverdadera, mientras que «alguien con cuatro mil cabellos es calvo» sería ligeramente menos verdadera. Pero esto también genera problemas, porque introduciría un gradiente en la verdad, es decir, no soluciona el problema de la frontera (¿cuándo alguien es calvo?), sino que lo desplaza a la verdad (¿a partir de cuántos cabellos esa proposición es tan poco verdadera que podemos decir que es ligeramente falsa?). Las lógicas multivaluadas (como la lógica trivalente de Łukasiewicz) han tomado soluciones más sofisticadas, pero parecidas.

Hay otros autores, como Timothy Williamson, que ponen el foco en nuestra capacidad epistémica afirmando que la lógica no tiene ningún problema, que simplemente somos nosotros, que no tenemos forma precisa de medir con nuestra vista ordinaria cuántos cabellos tiene alguien y que, por eso, se nos hace ¿difícil? la evaluación.  Pero ¿entonces?

La paradoja del calvo desafía el principio del tercero excluido, pilar de la lógica desde Aristóteles. Las soluciones propuestas —establecer fronteras arbitrarias, introducir gradientes de verdad o apelar a limitaciones epistémicas— no resuelven satisfactoriamente el problema sin generar nuevas paradojas o contradicciones

El meollo del asunto: el problema de la vaguedad en el  lenguaje ordinario

Bertrand Russell abordó estas paradojas en varios lugares, pero sobre todo en su artículo «Vaguedad», leído inicialmente (en inglés, claro) en la Jowett Society, Oxford el 25 de noviembre de 1922 y publicado un año después en la revista The Australasian Journal of Psychology and Philosophy. La tesis de Russell —y aquí empezamos ya con la enjundia filosófica— es que todo lenguaje ordinario es vago. Para Russell, estas paradojas ocurren porque usamos términos poco precisos, como «calvo» o «alto». Pero eso no ocurre con el lenguaje matemático (está claro cuando hay dos huevos, y no tres) o con el lenguaje científico (está claro lo que diferencia a 2,0001 metros de 2,0013 metros).

Russell heredó de Frege esta idea de que el lenguaje natural, el que usamos en nuestro día a día, es la causa fundamental de la confusión filosófica. El problema es que, como no sabemos qué significan las palabras «Dios» o «vida» o «mal», entonces estamos los filósofos constantemente en el día de la marmota con la paradoja del calvo: llegando a absurdos y malentendidos. La solución que daban muchos teóricos de la época, y Russell (con Whitehead) entre ellos, era algo así como armar un proyecto logicista; un proyecto que consistiese en mostrar que las matemáticas se pueden reducir a la lógica (i), crear un lenguaje simbólico perfecto (no con ambigüedades, como «calvo») (ii) y demostrar que todos los problemas filosóficos se solucionarían (iii) porque, por fin, dejaríamos de decir «calvo» y diríamos «cabeza con menos de trescientos cabellos». En palabras de Russell:

«Consideremos las diversas maneras en que las palabras comunes son vagas, y empecemos por una palabra como ‘rojo’. Es perfectamente evidente, puesto que los colores forman un continuo, que hay tonalidades respecto de las cuales dudaremos si llamarlas rojas o no, no porque ignoremos el significado de la palabra «rojo», sino porque es una palabra cuyo ámbito de aplicación es esencialmente dudoso. Esta es, por supuesto, la respuesta al viejo acertijo del hombre que se quedó calvo. Se supone que al principio no era calvo, que fue perdiendo el pelo uno a uno y que al final era calvo; por lo tanto, se argumenta, debe de haber habido un cabello cuya pérdida lo convirtió en un hombre calvo. Esto, naturalmente, es absurdo. La calvicie es una noción vaga: algunos hombres son ciertamente calvos, otros ciertamente no lo son, mientras que entre ambos hay hombres de los que no es verdadero decir que deban ser o bien calvos o bien no calvos. El principio del tercero excluido es verdadero cuando se emplean símbolos precisos, pero no lo es cuando los símbolos son vagos, como, de hecho, lo son todos los símbolos. Todas las palabras que designan cualidades sensibles poseen el mismo tipo de vaguedad que corresponde a la palabra «rojo». Esta vaguedad existe también, aunque en menor grado, en las palabras cuantitativas que la ciencia ha intentado con mayor empeño hacer precisas, como un metro o un segundo. No voy a invocar a Einstein con el propósito de volver vagas estas palabras».

Paremos un segundo a analizar las premisas filosóficas que hay detrás de esta propuesta logicista de Russell (y que solucionarían paradojas como la del calvo). En primer lugar, para estar de acuerdo, tenemos que aceptar que la vaguedad es una propiedad únicamente representacional, y no una propiedad ontológica, es decir, tenemos que aceptar que el problema es de nuestro lenguaje, pero no de la gente, que la gente tiene pelos exactos y que es más bien nuestro problema que no sabemos cómo llamar a las cosas. Esto implica, y aquí la segunda premisa, una visión precisa de la realidad, donde los pelos son claramente cuantificables. Supone aceptar que la gente tiene pelos exactos, que no hay, en la realidad, «más o menos». La realidad es exacta, otra cosa somos nosotros contando. En fin, implica afirmar que el mundo es estructuralmente preciso, pero nosotros no lo somos al nombrarlo.

¿Cuál será la tarea para Russell? Purificar el lenguaje ordinario para que pueda ser cada vez más y más preciso porque así veríamos que todas nuestras discusiones no son sobre la realidad, sino porque nuestros términos son torpes. El ideal es, entonces, alcanzar un lenguaje lógicamente perfecto. Un lenguaje donde cada término tiene perfectamente delimitado la parcela de realidad que le corresponde: «calvo» significa tantos pelos, «alto» significa tantos centímetros… Los filósofos lo que tendrían que hacer, en opinión de Russell, es dejar de divagar sobre el mundo y ponerse a eliminar la vaguedad de los términos de nuestra habla corriente.

Russell defendió que todo lenguaje ordinario es vago y propuso crear un lenguaje lógicamente perfecto donde cada término corresponda exactamente a una parcela de realidad. Esta visión supone que el mundo es estructuralmente preciso y que el problema reside únicamente en nuestra forma de nombrarlo

Pero ¿es acaso posible un lenguaje sin vaguedad?

El ideal de Russell tiene varios problemas, como constataron sus seguidores y la filosofía posterior. En primer lugar, la propia idea contiene en sí misma una paradoja que el propio Russell reconoció. En el citado artículo, leemos:

«Como todos sabéis, inventé un lenguaje especial con la intención de evitar la vaguedad, pero por desgracia no es adecuado para ocasiones públicas. Por lo tanto, aunque con pesar, me dirigiré a vosotros en inglés».

El lenguaje natural puede contener paradojas o ambigüedades, pero es el único que sabemos, funciona para la enseñanza de otros idiomas, y sirve en contextos de oratoria. En todo caso, lo necesitamos para poder hacer una transición a un lenguaje perfecto porque tendríamos que hacer traducciones, por ejemplo. En otras palabras, para armar o explicar un lenguaje formal necesitamos un lenguaje informal.

Pero hay más. Mientras que el primer Wittgenstein construyó toda su teoría del Tractatus sobre esta filosofía del lenguaje y este ideal, el segundo Wittgenstein se dio cuenta de lo imposible de esta empresa. En sus Investigaciones filosóficas defendió que, en realidad, los lenguajes no tienen una forma común subterránea que pueda formalizarse de igual manera en un único lenguaje formal y que, más que un sistema representativo (un sistema que sirve para hablar de otra cosa), el lenguaje s algo que se usa. Por este motivo, no hay un lenguaje separado de las prácticas sociales, no hay un significado abstracto al estilo de la teoría de las ideas de Platón. Las palabras no significan por sí solas, sino que las usamos en determinados contextos.

Por eso, la vaguedad no es ningún error. Es solo un error si tenemos una mirada, podríamos decir, representacional, esto es, si nos fijamos solo en la exactitud de su representación. Pero, si nos fijamos en cómo se usa, veremos que las palabras vagas no generan ninguna confusión en la comunicación, sino todo lo contrario: sirven perfectamente a su propósito. Cuando alguien dice «Párate más o menos por aquí», nadie se escandaliza ni el conductor se confunde, a pesar de la clara imprecisión de la frase. No pasa nada de eso porque nadie se fija en el significado empírico de la frase (¿dónde es «más o menos aquí»?), sino que la gente entiende cómo se usa esa frase: es una proposición que muestra educación y que señala que el conductor ya puede ir deteniendo el coche. Y es que especificar «Párate a exactamente 1,37 metros de ese punto» sería absurdo (y ni siquiera sabríamos qué cantidad decir).

¿Y si la ciencia fuera imprecisa y vaga?

Esta tesis podemos radicalizarla y entonces todo se vuelve más interesante. La Escuela de Viena acuerpó durante años este sueño logicista y criticó a la filosofía por el uso de términos no empíricos en sus proposiciones, términos que —en su idioma— no podían verificarse. Si quisiéramos heredar algo de este sueño logicista y perfectamente preciso, entonces quizá podríamos establecer una frontera: en el día a día podemos funcionar (y, de hecho, lo hacemos) con impresiones y vaguedades, está bien, pero en la ciencia eso es inoperativo.

El caso es que, como decíamos, podemos extender la crítica de Wittgenstein incluso al lenguaje científico porque, si nos fijamos bien, la ciencia también está repleta de términos ambiguos y que no pueden verificarse. Hay muchos ejemplos para eso, pero centrémonos en el concepto de «gen».

El concepto de «gen» es central en la biología. El paradigma neodarwiniano que sustenta todos los aspectos de la ciencia biología (la bioquímica de las células, metabolismo celular, fisiología, neurociencia…) se entronca antes o después con el término «gen». Pero ¿qué es un gen? ¿Lo podemos verificar? ¿Hay un elemento exacto de la realidad que podamos llamar «gen» y, así, cumplir el criterio verificacionista?

En el siglo XIX, desde luego no lo era. Mendel llamó «gen» a los factores hereditarios, pero como una simple postulación que explicase los problemas de la herencia y sus leyes. Nada sobre su realidad empírica. Años más tarde, en los años 10 y 20 del siglo pasado, Morgan los localizó en los cromosomas, por lo que la contrastación empírica parecía más cerca: los genes son algo que están en los cromosomas. Más adelante, en el año 1953, Watson y Crick mostraron la estructura de doble hélice del ADN y entonces pudimos saber que los genes son secuencias de nucleótidos dentro de nuestro ADN. Pues ya estaría, ¿no?, criterio superado. El término «gen» es un término verificado y preciso, no como «Dios» o «mal».

Pero las cosas no son tan sencillas. La genómica moderna ha mostrado que el concepto no es tan estable como los científicos esperaban porque, entre otras cosas, un mismo nucleótido puede formar parte de varios genes que se solapan. ¿No convierte esto a los genes en construcciones de los científicos que no están en la naturaleza? Además, un gen puede producir, dependiendo del momento, una proteína u otra, es decir, puede comportarse como si fuera un gen o como si fuera otro, por lo que no resulta preciso. Y por si fuera poco, el propio ADN se regula y se va modificando, además de haber elementos que influyen en la lectura de los genes, como los transposones. ¿Qué es exactamente un gen? ¿Podemos delimitarlo empíricamente?

Esto es lo que ocurre si aplicamos la crítica de Wittgenstein a la ciencia, que se destruye no solo el proyecto formal de Russell, sino la idea de que algún lenguaje (sea el científico, sea el que sea) puede no ser impreciso o vago. No pasa solo con los genes. Otros elementos centrales y nucleares de otras disciplinas, como el de «electrón» en física, o el de «campo» en magnética, o el de «especie» en biología, conceptos que organizan la teoría de su campo, son conceptos igualmente ambiguos. Quizá, entonces, debamos pensar la ciencia como un lenguaje ordinario más, con sus puntos a favor, y sus puntos en contra.

 Fuente: https://filco.es/